Pré requis :

• Construction de 
• Représentation géométrique d'un nombre complexe
• Interprétation géométrique de z az , | a | = 1 (rotation de centre O et d'angle Arg(a) [2] )
• Notions sur les groupes ( groupe cyclique , groupe fini , , ... )

I) Racines n-ièmes de l'unité :

1) Définition :

Soit n^* . On appelle racine n-ième de 1 toute solution de l'équation
(E1) : zⁿ = 1
 

Théorème :

1 a exactement n racines distinctes _k ( 0kn-1 ) où _k = e^2ik/n
Cet ensemble est noté U_n .
 

Démo :

z  , tel que zⁿ = 1

z = reⁱ

zⁿ = 1

rⁿeⁱⁿ = 1
 

rⁿ = 1 et n = 0 [2]
 

r = 1 et  = 2k/n , k
 

_k = e^2ik/n , k
 

Supposons qu'il existe k' ( 0k'n-1 ) ,tq _k = _k'

e^2ik/n = e^2ik'/n
 

2k/n = 2k'/n + 2 , 
 
 

k = k' + n , 

k-k' = n

Or k , k'  [| 0,n-1 |]

|  k-k' |  n-1
 

= 0
 

Exples :

• Pour n = 2 :

₁ = -1

• Pour n = 3 :

₁ = e^2i/3 = j

₂ = e^4i/3 = j²
 

Rque :

Soit _k racine n-ième de 1 alors 1/_k est aussi racine n-ième de 1

(1/_k)ⁿ = 1/_kⁿ

 1/_k = _k

Les racines n-ièmes de 1 sont 2 à 2 conjuguées.

Prop :

La somme des n racines n-ièmes de 1 est égale à 0 .
 

Démo :

Soit _k racine n-ième de 1

_k = e^2ik/n = (e^2i/n)^k = _n^k , k [| 0,n-1 |]

n 1 , _k = (_n)^k = (1-_nⁿ)/(1-)  = 0
 

2) Groupe des racines n-ièmes de l'unité :
 

Théorème :

(U_n , ) est un groupe abélien isomorphe à 
 

Démo :

(^* , ) est un groupe . Montrons que (U_n , ) en est un sous-groupe.

• U_n  ^*
• 1  U_n
• _k ,_k'  U_n :

Alors , on a : _kk'= e^2ik/n e^-2ik'/n = e^2i(k-k')/n

D'où :  ( _kk' )ⁿ = 1

f : Un , _k est un isomorphisme .
 

Rque :

On a vu que si 0kn-1 , _k = (₁)^k

Donc ₁ engendre U_n

Par conséquent : (U_n , ) est cyclique .
 

Théorème :

_k  est générateur de Un  pgcd(k,n) = 1
 

Démo :

pgcd(k,n) = 1   a,b   , ak + bn = 1
 

k'  , k' = akk' + bnk'
 

 _k' = e^2ik'/n = e^{2i(akk' + bnk' )/n} = e^(2ik/n)ak'
 

 _k'  = ( _k )^ak'
 

Théorème :

Soit G sous-groupe abélien de ^* fini d'ordre n .

Alors : G = U_n
 
 

II) Racines n-ièmes d'un nombre complexe :

1) Déf :

Soit Z  , soit n^* , on appelle racine n-ième de Z toute solution de :

(E_n) : zⁿ = Z

Si Z = 0 , z = 0 est la seule solution.

Par la suite, Z  0 .

Rque :

Si z₁ et z₂ solutions, alors ( z₁ / z₂ )ⁿ = 1

z₂ = z₁ , où  U_n
 

Théorème :

Soit n ^*. Tout nombre z de ^*a exactement n racines distinctes .

Rque :
Il suffit de montrer qu'on en a au moins une , on obtient les autres en multipliant par des  U_n
 

2) Somme et produit des racines n-ièmes de z ^* :
 

Prop :

n1 , la somme des racines n-ièmes d'un nombre complexe Z est nulle .
 

Dém :

Soit z tel que zⁿ = Z

On a : z_k = z_k = z_k = 0 (car la somme des n racines n-ièmes de l'unité vaut 0 )
 
 

Prop :

n1 , le produit des racines n-ièmes d'un nombre complexe Z est égal à (-1)^n-1Z.
 

Démo :

Soit z tel que zⁿ = Z

On a : z_k =  z₁^k  = zⁿ₁^k

 = zⁿ₁ ^ (k )

= zⁿ₁^n(n-1)/2

= Ze^{(2i/n)n(n-1)/2}

= Z (eⁱ)^n-1 = Z(-1)^n-1
 

Rque sur cette démo :

Racines n-ièmes réelles de 1 sont 1 et (-1) (pour -1 vrai uniquement dans le cas où n est pair)
 

III) Interprétation géométrique et applications :

On se place dans P muni d'un repère orthonormé (O,, )
 

1)

Déf :

Soit n > 2. Soient M_k , k [| 0,n-1 |] n points distincts

_n = { M₀, ... ,M_n-1 } est un polygone régulier s'il existe une rotation r(0,2/n) telle que :

• k [| 0,n-2 |] , r(M_k) = M_k+1
• r(M_n-1) = M₀

_n a n côtés égaux , centré en 0 ,inscrit dans C(0,OM₀)
 

Théorème :

n > 2

Z* . Les racines n-ièmes de Z sont les affixes des sommets d'un polygone régulier à n côtés de longueur 2( |Z| )^1/n sin /n  , centré en 0
 

2) Applications :

a) Résoudre :

( Pour zi)

(E₂) : (z+i)ⁿ + (z-i)ⁿ = 0

b) Soient p,n *

p est un diviseur de n  X^p - 1 diviseur de Xⁿ - 1 dans [X]

c) Calcul de cos 2/5 et construction d'un pentagone régulier.