ORAUX DU CAPES (SUITE)

X) Suites ,approximations d'un nombre réel :



 

ORAUX DE TYPE I
ORAUX DE TYPE II
Suites monotones,suites adjacentes.Application à l'approximation d'un nombre réel,au développement décimal.L'exposé pourra être illustré par un ou des exemples faisant appel à l'utilisation d'une calculatrice. Exemples d'étude de problèmes conduisant à des suites géométriques ou arithmétiques.
Suites convergentes.Opérations algébriques,composition par une application continue.Comparaison de suites entre elles. Exemples d'étude du comportement de suites définies par une relation un+1=f(un) et une condition initiale.
Exemples d'accélération de la convergence pour une suite réelle. L'exposé pourra être illustré par un ou des exemples faisant appel à l'utilisation d'une calculatrice.  Exemples d'approximation d'un point fixe d'une fonction à l'aide d'une suite.Etude de cette suite.Mise en évidence de l'obtention de la précision visée.
Suites divergentes.Cas des suites admettant une limite infinie : comparaison,opérations algébriques,composition par une application. Exemples d'emploi de suites pour l'approximation d'un nombre.
Etude des suites de terme général an,nb et n! Croissances comparées.Exemples de comparaison de suites aux suites précédentes.L'exposé pourra être illustré par un ou des exemples faisant appel à l'utilisation d'une calculatrice. Exemples de recherche de solutions approchées d'une équation numérique.
Etude de suites de nombres réels définies par une relation de récurrence un+1 =f(un) et une condition initiale.L'exposé pourra être illustré par un ou des exemples faisant appel à l'utilisation d'une calculatrice. Exemples de méthodes d'approximations du nombre  à l'aide de suites,et notamment de suites attachées aux polygones réguliers.
Etude des suites réelles vérifiant une relation de récurrence du type 
un+1 = aun +b :terme général,discussion selon les valeurs de a et b,somme des premiers termes,comportement asymptotique...Exemples.		 Exemples de méthodes d'approximations du nombre e à l'aide de suites.Irrationalité du nombre e.
Méthodes d'approximation,à l'aide de suites,du logarithme népérien d'un nombre réel strictement positif : exemples numériques,programmation à l'aide d'une calculatrice.
Exemples d'étude de phénomènes exponentiels discrets ou continus issus de situations économiques,sociales ou scientifiques.
Exemples d'étude,aux niveaux Collège et Lycée,d'exercices mettant en évidence les possibilités et les limites d'une calculatrice.
Exemples de problèmes conduisant à utiliser une calculatrice pour formuler une conjecture et contrôler des résultats dans différentes situations mathématiques.
Exemples d'étude de situations conduisant à la mise en oeuvre d'une démarche algorithmique au Collège et en Seconde.
Exemples d'étude de situations conduisant à la mise en oeuvre d'une démarche algorithmique au Lycée.

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XI) Calcul différentiel :



 

ORAUX DE TYPE I
ORAUX DE TYPE II
Limite finie d'une fonction à valeurs réelles en un point a de .Opérations algébriques sur les limites.Exemples.  Exemples d'utilisation de formes usuelles du raisonnement (par condition nécessaire,par condition suffisante,par contraposition,par équivalence,par l'absurde,par disjonction des cas...).
Limite à l'infini d'une fonction à valeurs réelles.Branches infinies de la courbe représentative d'une fonction.Exemples. Exemples de présentation ,en fin de Collège,d'activités récapitulatives sur les notions de proportionnalité,de pourcentage,de fonction linéaire,de fonction affine.
Fonctions à valeurs réelles continues en un point a de .Opérations algébriques,composition.Prolongement par continuité d'une fonction en un point.Image d'une suite convergente par une fonction continue. Obtention ,en classe de Première, de l'étude et de la représentation graphique de fonctions telles que f+m,mf,xf(x+m),xf(mx),|f|, à partir de celle d'une fonction f.
Image d'un intervalle par une fonction continue,image d'un segment.Continuité de la fonction réciproque d'une fonction continue strictement monotone sur un intervalle. Exemples d'emploi de majorations et d'encadrements d'une fonction par des fonctions plus simples.Exemples d'emploi d'inégalités sur les dérivées pour obtenir des majorations et encadrements.
Fonction réciproque d'une fonction continue strictement monotone sur un intervalle de .Propriétés.Exemples. Exemples d'étude du comportement local de fonctions(approximation par une fonction affine).Applications.
Méthodes d'approximation d'une solution d'une équation numérique réelle.Exemples.L'exposé pourra être illustré par un ou des exemples faisant appel à l'utilisation d'une calculatrice. Exemples de mise en évidence de la relation entre la monotonie de la dérivée d'une fonction et la position de sa courbe représentative par rapport aux tangentes.
Dérivée en un point.Interprétation géométrique.Exemples. Exemples d'étude de situations décrites au moyen de fonctions (issues de la géométrie,des sciences physiques et biologiques,de la vie économique et sociale...)
Fonctions dérivées.Opérations algébriques.Dérivée d'une fonction composée.Exemples. Exemples d'illustrations,à l'aide de contre-exemples,de l'importance de la vérification des hypothèses lors de l'emploi d'un théorème.
Formules de Taylor.Applications. Exemples d'étude du comportement asymptotique d'une fonction.Applications.
Développements limités,opérations sur les développements limités. Exemples d'emploi de la dérivation pour l'étude du sens de variation d'une fonction,du signe d'une fonction ou de la position relative de deux courbes.
Applications du calcul différentiel à la recherche d'extrema(maximum et minimum) d'une fonction numérique d'une variable réelle.Exemples.L'exposé pourra être illustré par un ou des exemples faisant appel à l'utilisation d'une calculatrice. Exemples de présentation,en Terminale ES,d'exercices d'application de la dérivée logarithmique.
Comparaison des fonctions : domination,prépondérance,équivalence.Exemples et applications. Exemples d'utilisation de l'étude et de la variation des fonctions pour des problèmes d'optimisation en géométrie(longueurs,aires,volumes).
Emploi du calcul différentiel pour l'étude locale de la position de la courbe représentative d'une fonction par rapport aux tangentes et aux sécantes.
Fonctions convexes d'une variable réelle.Applications.
Théorème de Rolle.Applications.
Inégalité des accroissements finis.Exemples d'applications à l'étude de suites et de fonctions.
L'exposé pourra être illustré par un ou des exemples faisant appel à l'utilisation d'une calculatrice.

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XII) Calcul intégral :


 
 
ORAUX DE TYPE I
ORAUX DE TYPE II
Primitives d'une fonction continue sur un intervalle;définition et propriétés de l'intégrale,inégalité de la moyenne.Applications. Exemples d'encadrement d'une intégrale au moyen d'un encadrement de la fonction à intégrer;exemples d'applications à l'obtention d'encadrements d'une fonction.
Intégration par parties.Exemples de changements de variable.Applications. Exemples de recherche de primitives par des méthodes variées.
Diverses méthodes de calcul approché d'intégrales définies.L'exposé pourra être illustré par un ou des exemples faisant appel à l'utilisation d'une calculatrice. Exemples de calcul de valeurs approchées d'intégrales.
Exemples de calcul d'aires planes à l'aide du calcul intégral.
Exemples de calcul de volumes de solides usuels.
Exemples d'étude de situations menant au calcul de la valeur moyenne d'une fonction ou de son carré.
Exemples de présentation ,en séances de travaux dirigés de Terminale scientifique,d'exercices permettant de retrouver les formules données au Collège pour des calculs d'aires ou de volumes.
Exemples d'emploi du calcul intégral pour le calcul de grandeurs géométriques,mécaniques ou physiques.

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XIII) Fonctions usuelles,équations différentielles :


 
 
ORAUX DE TYPE I
ORAUX DE TYPE II
Fonctions polynômes. Exemples d'étude de situations (issues de la géométrie,des sciences physiques et biologiques,de la vie économique et sociale...)conduisant à une fonction logarithme ou exponentielle.
Fonctions logarithmes. Exemples d'étude de phénomènes continus satisfaisant à une loi d'évolution et à une condition initiale menant à une équation différentielle linéaire à coefficients constants du premier ordre,du second ordre.
Fonctions exponentielles.
Croissance comparée des fonctions réelles x ex
x xa et x ln x au voisinage de .Applications.L'exposé pourra être illustré par un ou des exemples faisant appel à l'utilisation d'une calculatrice.
Caractérisation des fonctions x xa,où a appartient à ,par l'équation fonctionnelle : f(x.y)=f(x)f(y).Applications.
Caractérisation des fonctions exponentielles par l'équation fonctionnelle : f(x+y)=f(x)f(y).Applications.
Caractérisation de la fonction exponentielle xeax,où a appartient à ,par l'équation différentielle y' =ay et une condition initiale.Applications.
Résolution des équations différentielles linéaires du second ordre à coefficients constants sans second membre.Exemples.
Etude de l'application qui,à tout nombre réel x,associe  .Application à une définition des fonctions trigonométriques.

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