Introduction et construction du corps  des complexes.Propriétés .

Histoire : Cardan et Bombelli au XVI ième siècle.
 

I) Construction du corps  des complexes :

= { (x,y) ; x, y }

On munit  de deux lois de composition interne  :

(x,y)  , (x',y') ,

• (x,y)+(x',y') = (x+x',y+y')
• (x,y)(y,y') = (xx' - yy' , xy' + yx' )

1) Structure de (, + ,  ) :

• (, + ) est un groupe commutatif    ( 0= (0,0) )
• La multiplication est associative,commutative,d'élément neutre (1,0),distributive par rapport à l'addition.

Donc (, + , ) est un anneau commutatif.

De plus :

z \ { (0,0) } où z =(x,y) ,alors z admet un inverse :
 

Conclusion :

( , + , ) est un corps

Définition :

( , + , ) est appelé corps des nombres complexes ,noté 
 
 

2) Etude d'un sous-ensemble de  :

Soit R = { (a,0) , a  }

Soit  :  , a (a,0)

Propriétés de  :

• est injective
• est un homomorphisme d'anneaux unitaire

Donc  est un isomorphisme de  sur () (= R)

3) Notation définitive :

On "identifie" au niveau des notations a et (a,0)
 

Conséquence 1 :

(a,b)  :

(a,b) = (a,0) + (0,b) = (a,0) + (b,0)(0,1)

= a + b(0,1)

On pose i =(0,1)

Conséquence 2 :

i² = (0,1)(0,1) = (-1,0) = -1
 
 

Prop :

Tout nombre complexe z =(a,b) s'écrit de façon unique ,sous la forme z = a+bi
 
 

Déf :

a = Re(z) : la partie réelle de z

b = Im(z) : la partie imaginaire de z
 
 

Si Re(z) = 0 , alors z est dit imaginaire pur .
 

II) Conjugué d'un nombre complexe :

Déf :

On appelle conjugué du nombre complexe z =a + ib , le nombre  = a - ib
 
 

Propriétés :

(z,z') ² :

• =  + 
• = .
• = z
• n   : ⁿ = 
• +    = 2Re(z)
• -   = 2iIm(z)

On utilise souvent dans les exos les deux dernières propriétés sous la forme :

( z =  )  z

et ( z = - )  zi
 

Démo :

Toutes sont simples. Seule la propriété relative au produit n'est pas triviale. (Pour celle sur la puissance n , on raisonne par récurrence ).
 

III) Module d'un nombre complexe :

Observation :

z  , z = a + ib

z = (a + ib)(a - ib) = a² + b²₊
 
 

Déf :

On appelle module de z ,le réel  =  0

On le note  | z |
 
 

Propriétés :
 

(z,z') ²:

| zz' | = |z| |z'|

| Re(z) | | z |

| Im(z) |  | z |

|  | z | - | z' |  |  | z + z' |  | z | + | z' |  (*)
 

Rque sur (*) :

• Quand la première inégalité est une égalité , alors :

z =  z'

• Quand la deuxième inégalité est une égalité , alors :

, z = z'

Démo de :  | z + z' |  | z | + | z' |

 | z + z' |² = ( z + z' )(  )

 = ( z + z' )(  +  )

= z + z' + z + z'

= | z |² + | z' |² + z + 

= | z |² + | z' |² + 2Re( z )

| z |² + | z' |² + 2 | z | = | z |² + | z' |² + 2| z | | z' |

 = ( | z | + | z' | )²

Or, on sait que 0  | z + z' | ,d'où :  | z + z' |  | z | + | z' |

• Si z' = 0 , égalité immédiate
• Si z'  0 :

 | z + z' | = | z | + | z' |   Re( z ) = | z |  0

z   ₊

z / z'  ₊

   ₊ , z = z'
 

IV) Application des nombres complexes pour la résolution d'équations du second degré :
 

1) Racines carrées d'un nombre complexe :

Z = A + iB  , (A,B)  ² , Z  *

Il existe exactement deux nombres complexes distincts , opposés l'un de l'autre z tq z² = Z
 
 

2) Résolution d'une équation du second degré :

az² + bz + c = 0 où a 0 et (a,b,c) ³

H(z) = az² + bz + c = a[ z² + bz/a + c/a ]

= a[ ( z + b/2a )² + c/a - b²/4a² ]

= a[ ( z + b/2a )² - ( b² - 4ac ) / 4a² ]

= a[ ( z + b/2a )² -   / 4a² ] où  = b² - 4ac

• Si  = 0 :  alors H(z) = a( z + b/2a )²

H(z) = 0  z = -b/2a

• Si   0 ,  = ²

H(z) = 0  ( z + b/2a )² = ² / 4a²

( z + b/2a )² = ( / 2a )²

z = ( -b +  ) / 2a  ou z = ( -b -  ) / 2a
 
 

Exos :

1) Calculer les racines réelles de z = -2 + i , z = 3 - 4i

2) Dans  : z² + (1 - 5i )z + 6i -2 = 0

3) Soit f :  \ { i }  ,  z  ( 1 - iz ) / ( 1 + iz )

a) Mettre f(z) sous forme algébrique
b) Trouver z tel que f(z) soit réel
( c) Trouver z tel que f(z) soit imaginaire )
d) Reprendre les 3 questions précédentes en utilisant la conjugaison.
 

(S) :