Construction du corps  des rationnels :

Pre requis :

• Relation d'equivalence ,relation d'ordre
• Groupe,anneau,corps (déf+propriétés)
• Morphisme d'anneaux
• ( , + ,  ) : anneau commutatif unitaire intègre .

2x = 3 n'a pas de solution dans  ; d'où la nécessité de construire un ensemble plus grand.

I) Construction :

Prop :

Soit  la relation binaire définie sur ^* par :

(a,b)^*, (a',b') ^* ,
 

(a,b)(a',b')  ab' = ba'

est une relation d'équivalence .

Rque :

Soit (a,b) ^*, k^* (ka,kb)(a,b)
 

Prop :

• (a,b) ^* ,  ! (a',b') ^*  tq :

(a,b)(a',b') et pgcd(a',b') = 1

• = { (ka,kb) ,k ^* }

Munissons ^* de deux lois de compositions internes :

(a,b) ^* , (c,d) ^* ,
 
 

(a,b)  (c,d) = (ad+bc,bd)

(a,b)  (c,d) = (ac,bd)

Prop :

• Ces deux lois sont associatives et commutatives , d'élément neutre resp. (0,1) et (1,1).
• est compatible avec ces lois :

(a,b)(a',b') et (c,d)(c',d')

(a,b)  (c,d)  (a',b')  (c',d')

et (a,b)  (c,d)  (a',b')  (c',d')

Notons  l'espace quotient   (^* ) / 

Munissons  des lois :

,  :

  +  = 

= 

Ce sont des lois de compositions internes.

En effet : si  = 

= 

Alors :

(a',b')(a,b)   et   (c',d')(c,d)

(a,b)  (c,d)  (a',b') (c',d')

= 

Théorème :

• ( , + ,  ) est un anneau commutatif intègre d'élément neutre  pour + et  pour 
• Tout élément   est inversible pour ,et a pour inverse 
• Tout élément  a pour opposé 

Preuve : pas difficile
(à savoir faire)
 

Csq :

U() =  \ { }
 

Théorème :

(  , + ,  ) corps

Notation :     = a/b
 

+  = 

a/b + c/d = ( ad + bc )/bd

(a/b)  (c/d) = ac/bd

Opposé de a/b est -a/b

a/b - c/d = a/b + (-c/d)

Inverse de c/d ( 0/1) est d/c on note (c/d)^-1 = d/c

(a/b) / (c/d)  = (a/b)(c/d)^-1

^{Déf :}

est appelé ensemble des nombres rationnels (ou corps des nombres rationnels).

Tout élément x de  est appelé nombre rationnel et la désignation a/b est appelée fraction représentant x .

a est le numérateur , b le dénominateur .

Rque :

Soit (a,b) ^* , soit k  \ { (0;1) } , ka/kb = a/b

On dit qu'on a simplifié la fraction ka/kb.

Déf :

Soit x  , on appelle fraction irréductible de x l'unique fraction a/b tq :

x =a/b
pgcd(a,b) =1 , b^*
 
 

II) Relation entre  et  :

{ a/1   tq a  } est un sous-anneau de   isomorphe à 
 

*  est le plus petit corps contenant 

* 1/a inverse de a ( pour a  0 )

*  = ₊^*_-

* (x,y)²  x y  y-x ^*

x < y  x  y et x  y

*  (x,y,z)  ³ , si xy alors x + y  x + z

Si xy et z ₊ , alors xzyz

Si x < y et z ₊^* ,alors xz < yz

On montre aussi que  est archimédien .