L'anneau  ; sous-groupes additifs de  . Les idéaux de  sont principaux.Egalité de Bezout.Résolution dans  d'une équation de la forme ax + by = c .

Pre requis :

• 
• Construction de 
• anneau commutatif unitaire
• Définition d'un anneau intègre .

I) L'anneau  et ses sous-groupes :

Théorème 1 : ( division euclidienne )

Soient a,b  , b 

! ( q,r )² tq a =bq + r avec 0r < | b |

Soit a :

a = { ak , k  }

Rque :

1) (a , + ) est un sous-groupe de ( , + )

2) a = (-a)

3) a  ,  ! b , a = b

Théorème 2 :

L'application a a est une bijection de  sur l'ensemble des sous-groupes de ,autrement dit

H sous-groupe de  ,  ! a  , H = a

Démo : (déjà vue dans une leçon précédente )
 

II) Les idéaux de  sont principaux :

Déf 1 :

Un idéal d'un anneau commutatif A ,est un sous-ensemble I de A tq :

• I est un sous-groupe de (A,+)
• I est absorbant : iI ,aA , ia  I

Ex :

{0} , A sont des idéaux de A

a , a sont des idéaux de 

aA , aA sont des idéaux de A

Déf  2 :

Un idéal I d'un anneau commutatif A est dit principal s'il existe
aA , I  = aA

Déf  3 :

Un anneau (A,+) est dit principal s'il est commutatif et intègre et que tous ses idéaux sont principaux .

Théorème :

( , + , . ) est un anneau principal c'est-à-dire tous les idéaux de  sont de la forme a , a 
 

III) Egalité de Bezout .Résolution d'équation du type ax + by = c
 

Prop :

Soient a,b 

1) a + b est un idéal de 

2) d = pgcd(a,b)   a + b = d

Théorème  4 :

Soient a,b  , a . Si on note d =pgcd(a,b)

m,n  , d = ma + nb ( relation de Bezout )

ATTENTION : Réciproque fausse .

Ex :

32 + 54  = 26

Mais 26  pgcd(2,4) = 2

Rque :

m et n ne sont pas  uniques .

Théorème de Bezout :

a,b * :

pgcd(a,b) = 1  ( u,v ) ² tq au + bv = 1

Démo :

cf  Th 4

Soit d = pgcd(a,b) 

d | a et d | b donc d | au + bv = 1

Donc : d | 1

Rque :

u et v ne sont pas uniques

Conséquences :

Th de Gauss :

Soient a,b,c  tq :

a0 , a | bc et pgcd(a,b) = 1

Alors :  a | c

Démo :

1 = au + bv

c = acu + bvc .

Or , a | acu et a | bvc

Donc : a | c

Résolution de ax + by = c (E) ( a,b,c  )

Prop :

(E) admet des solutions  pgcd(a,b) | c

Dém :

Sol. entières x et y

ax + by = c

d | a et d | b donc d | ax + by = c

d | c  u  , c = du
d = ma + nb  ,m,n 

c = mau + nbu

( mu,nu ) solution de (E)

Soit d = pgcd(a,b)
d | c

Si d1 : résoudre (E) revient à résoudre (E') : a'x + b'y = c'

où a' = a/d  , b' = b/d , c' = c/d

(x,y) solution de (E)  ax + by = c

a'dx + b'dy = c'd

a'x + b'y = c'  (d0)

On peut donc se ramener à d=1

A) Solution particulière :

(u,v ) ² tq au + bv = 1

auc + bvc = c

Pour trouver (u,v) :

• Par tâtonnement
• Algorithme d'Euclide

B) Résolution :

(x₀,y₀) solution particulière :

ax + by = c   (1)
ax₀ + by₀ = c   (2)

(1) - (2) : a(x-x₀) = b(y₀-y)   (3)

Donc : a | b(y-y₀) et b | a(x-x₀)

Comme pgcd(a,b) = 1

On a ,par Gauss , a | y-y₀  et b | x-x₀

k  ,  k'  :

y-y₀ = ak
x-x₀ = bk'
k = k'
 
 

y = y₀ + ak
x = x₀ - bk
k
 

Réciproque : on vérifie (x,y) bien solution
 

Applications :

1) De combien de façons peut-on obtenir un total de 1000 avec les nombres 8 et 15 ?

2) Problème : déterminer x tq :

x3 [11]
et x4 [15]

Revient à résoudre 11u + 15v = 1

11 | x -3 d'où x = 3 + 11k
15 | x -4 d'où x = 4 + 15k'

D'où : ( -4 + 15k , 3 - 11k )
u = -4 + 15k ; v = 3 - 11k

x = -41 + 165k , k