Congruences dans  .Anneaux 

I) Généralités :

1) Relation de congruence et ses propriétés :
 

n* , n = { multiples de n }

Déf :

On définit dans  la relation notée  [ n ] par :

(a,b) ² , ab [n]  a-b  n

Rque :

On peut écrire ab [n] ssi :

k  tq a = b + kn
(a et b ont le même reste dans la division euclidienne par n )

Prop :

• La relation de congruence est une relation d'équivalence
• Elle est compatible avec l'addition et la multiplication dans  :

( a,a',b,b' ) ⁴ ,si aa' [n] et bb' [n], alors

a+ba'+b' [n] et aba'b' [n]
 

Preuve de la compatibilité avec l'addition :

Soit (a,b,c) ³  :

ab [n] , d'où a-b = nq ,q 

Alors, ( a+c ) - ( b+c ) = nq c'est-à-dire a+cb+c [n]  ( * )

Soient ( a',b' ) ² / a'b' [n]

ab [n]  a + a'  b + a' [n] (grâce à ( * ) )

a'b' [n]  a' + b  b' + b [n] (grâce à ( * ) )
 

2) Ensemble    :
 

x , on note 

y  /  y  x [n] }

C'est la classe d'équivalence de x suivant la relation d'équivalence [n]

Il y a n restes possibles pour la division euclidienne par n : 0,...,n-1
On obtient à partir de ces n restes , n classes d'équivalences différentes : , ... ,

Ainsi on note :  = { , ... , }

3) Opérations dans  :

Soient ( x,x' )  ²  /  =  ' = X
         ( y,y' ) ²  /   = ' = Y

( x,x',y,y' ) sont des représentants de X et Y .

a) L'addition :

xx' [n] et yy' [n]

alors x + y  x' + y' [n]
(  =  )

La classe d'équivalence  ne dépend pas du représentant choisi ( dans X et dans Y ) ,on peut la noter X+Y

On définit ainsi l'addition dans  :
( x,y ) ² ,  +  = 

b) La multiplication :

On définit la multiplication dans  :

( x,y ) ² ,    = 

II) Anneau  :

Théorème :

L'ensemble  muni de la loi d'addition et de multiplication définies

ci-dessus est un anneau commutatif et l'application :

de  dans  ,telle que : x est un homomorphisme d'anneaux.

Eléments inversibles .Corps :

Théorème :

Dans un anneau  ,  inversible  x et n sont premiers entre eux.

Démo :

Soit   ^* :

Alors  est inversible  ^* ,  = 

x  1 [n]

(,) * / x + n = 1

Par le théorème de Bezout :

est inversible  x et n sont premiers entre eux.
 

L'ensemble des éléments inversibles de  est noté U()

Prop :

( U() ,  ) est un groupe .

Théorème :

Les propositions suivantes sont équivalentes :

(i) n est premier
(ii)  est un corps
(iii)  est intègre
 

III) Applications :

1) Groupes cycliques
2) Critère de divisibilité par a en base b
3) Théorème de Wilson :

p premier  (p-1)!  -1[p]

x, p premier   x^p  x [p]

Preuve du 4) :

• Si x  p ,alors  =  ^p =    . C'est-à-dire :

x^p  x [p]

• Si x  p , 

Comme p premier ,  / p est un corps .

Donc U( / p ) = ( / p ) / {}

Alors l'ordre du groupe U( / p ) est p-1

D'où  ^p-1 = 1

Ainsi ^p =  c'est-à-dire x^p  x [p]

Rque : ( Indicatrice d'Euler )

(n) = Card { k [| 1;n |] ,pgcd(n,k) = 1 }

On a (n) = Card (U() )

Si pgcd(n,m) = 1 ,(nm) = (n)(m)

D'autre part ,si n premier ,alors  (n) = n-1

Enfin :

Si a  , a = p_i^di

(a) = (p_i^di )

(a) =  ( p_i^di - p_i^di-1 )