, P() , p) .
est fini.
On se place sur (
, P() , p) .
est fini.
Pre requis :
Univers,événement,v.a.r. , loi de probabilité ,espérance,variance, événements indépendants.
I) Schéma de Bernoulli :
1) Définitions :Une épreuve de Bernoulli est une expérience aléatoire ayant 2 issues contraires S et E . ( =Succès et Echec)a) Déf 1 :
On appelle schéma de Bernoulli une suite finie de répétitions indépendantes d'une même épreuve de Bernoulli.b) Déf 2 :
2) Modélisation :a)
={ S,E } , p({S}) = p
b) (n)
= {S,E} 
...{S,E}
= {S,E}n
On définit une probabilité sur (n)
par :
1,...,n)})
= 
p({i
})
(n)
, pn(A) = 
pn({1,...,n})
,pn (A) = 0
On vérifie par récurrence que :
pn({1,...,n})
= 1
II) Loi binômiale :
1) V.a. de Bernoulli :L'événement (X=1) est appelé succès,on note p=p(X=1)Déf 3 :Une v.a. de Bernoulli est une v.a.r. X telle que :
X(
|
|
|
|
|
|
|
|
Prop 1 :
Si X est une v.a. de Bernoulli de paramètre p, on a E(X) =
p et V(X) = pq
2) V.a. binomiale :Soit un schéma de Bernoulli.
(n)
à valeurs dans 
.
Cherchons la loi de X
(n)
) = {0,...,n}
Soit k
[|
0;n |] :
(X=k) signifie k succès et n-k échecs dans n'importe
quel ordre.
(X=k) est la réunion d'événements élémentaires
chacun de probabilités pkqn-k
Il y a 
façons d'obtenir k succès et n-k échecs.
Donc :
k
n
, p(X=k) = pkqn-k
Déf :
Soit p[
0;1 ] et n un entier.
On dit qu'une v.a. X suit la loi binomiale de paramètres
n et p
(on note : X
B(n,p)
) si X prend pour valeurs les entiers 0,1,...,n et si :
|
kn
, p(X=k) = pkqn-k |
3) Lien entre v.a. de Bernoulli et v.a. binomiale :Si XProp 2 :
B(n,p) alors
X est la somme de n v.a.r. de Bernoulli ,indépendantes
et toutes de paramètre p.
Rque :
Une v.a. de Bernoulli suit en fait la loi B(1,p)
Démo de la prop 2 :
Soit Xi de (n)
à valeurs dans
telle que :
(1,...,S,...,n)
1,
S à la ième position
(1,...,E,...,n)0,
E à la ième position
Xi : v.a. de Bernoulli
X = 
Xi
(Xi =1 ) = ...S...
(Xi = 0) = ...E...
Pour toute famille Xi , les événements (Xi
=i)
sont indépendants ,Xi sont indépendantes.
p(Xi=1) = p()...p(S)...
= p
Xi ont même paramètre.
4) Espérance et variance :Si XProp 3 :
B(n,p) alors
:
III) Applications :
1) Exo Fractale ed 98 32p241
2) Montrer que si XB(n,p)
et que YB(m,p)
,alors :
X+YB(n+m,p)
3) Réciproque de la prop 2