fini .

On suppose donné un espace probabilisé (  ,P() , p )

Pre requis :

• Univers 
• Evénement
• Probabilité sur 
• Evénements indépendants

I) Variable aléatoire à valeurs réelles : (v.a.r.)
 

1) Déf :

Une v.a.r. définie sur  est une application X : ;
X() : l'univers image de  par X .
 

X^-1({x_i}) l'événement noté [ X = x_i]

Rque :

Une v.a.r. est définie lorsque le résultat de l'expérience aléatoire est numérique.

Ex :

Une urne contient 3 boules rouges et 4 boules blanches.On fait un tirage de 2 boules simultanément,et chaque boule rouge rapporte 10F.

= { B,B,R,R,B,R,B }

X() = { 0,10,20 }
 

2) Loi de probabilité de la v.a.r. X :

Déf :

La loi de probabilité de la v.a.r. X est l'application de X() dans [ 0;1 ],

x p[X=x].

On note p_i = p[X=x_i] .

Rques :

• Les [X=xi] sont appelés événements élémentaires associés à la v.a.r. X.Ils forment un système complet d'événements.
• pi = 1

3) Fonction de repartition :

C'est la fonction F : F(x) = p[Xx]

Propriétés :

• F est croissante et en escalier sur 
• x,y , x<y ,on a :

F(y)-F(x) = p[x<Xy]

Exple :(retour à l'exple précédent )

• Si x<0 alors F(x) = 0
• Si 0x<10 alors F(x) = 2/7
• Si 10x<20 alors F(x) = 6/7
• Si x20 alors F(x) = 1

II) Espérance et variance :

1) Espérance mathématique :

Déf :

L'espérance de la v.a.r. X est la moyenne des x_i pondérés par les probabilités p_i :
 

E(X) = xipi

Exple :

E(X) = 02/7 + 104/7 + 201/7 = 60/7
 

Si X v.a.r. est constante et égale à x alors E(X) = x

Déf :

On dit que la v.a.r. X est centrée si E(X) = 0

Propriétés :

(i) E(X) = X()p()

(ii) X E(X) est linéaire  :

• E(X+Y) = E(X) + E(Y)
• E(X) = E(X)

Démo :

(i) :
E(X) = x_ip[X=x_i]

[X=x_i] = { _i1,...,_ik } 

p[X=x_i] = p(_ij)
D'où x_ip[X=x_i] = (p(_ij) )x_i

= p(_ij)X(_ij)

E(X) = (p(_ij)X(_ij) )

= X()p()
 

* E(X+Y) = (X+Y)()p()

= X()p() + Y()p()

= E(X) + E(Y)
 

* E(X) =E(X) (preuve facile)

2) Variables aléatoires indépendantes :
 

X et Y sont indépendantes ssi pour tout x et tout y de  ,les événements [X=x] et [Y=y] sont indépendants.

Notation : XY

Proposition :

Si XY alors E(XY) =E(X)E(Y)

Rque :

ATTENTION : la réciproque est fausse !
 

3) Variance et écart-type :

La variance de la v.a.r. X est le nombre :
 
 

V(X) = (xi - E(X))2p[X=xi]

Propriétés :

1) V(X) = E[ (X-m) ² ] avec m =E(X)

2) V(X)0

3) Si X constante alors , V(X) = 0

4) a,b  , X v.a.r. on a V(aX+b) =a²V(X)

Formule de KOENIG-HUYGENS : V(X) = E(X²)-( E(X) )²

Prop :

Si X Y alors V(X+Y) = V(X)+V(Y)

Démo de la formule de Koenig-Huygens :

V(X) = E [ (X-m)² ]
 

= E(X² - 2mX + m² )
= E(X²) -2mE(X) +m²E(1)
= E(X²) -2(E(X))² + (E(X))²   (car E(1)=1)
= E(X²) - (E(X))²
 

On appelle écart-type de la v.a.r. X le nombre : (X) =
 

III) Applications :

1) Calcul de l'espérance et de la variance de "la somme des points de 2 dés parfaits "

2) E(X) et V(X) lorsque X b(n,p)

3) Illustration de la réciproque fausse de  :
XY E(XY) =E(X)E(Y)