Pre requis :

• Définition de probabilité
• Définition d'espace de probabilité

1) Définition :

Soit BP() tel que p(B) > 0 alors l'application
p_B :  P()[ 0; 1]

Ap_B(A) avec p_B(A) = p(AB) / p(B)

Démo :

p_B() = p(B) / p(B) = p() / p(B) = 0

p_B({_i}) = p(B{_i} ) / p(B)
 

= (1 / p(B)) p( B{_i} )

= (1 / p(B))p((B{_i} ) )

= (1 / p(B))p(B({_i} ) )

= (1 / p(B))p(B) = p(B) / p(B) = 1
 

A = {_i}

p_B(A) = p(BA) / p(B) = p(B({_i} ) ) / p(B)
 

= p((B{_i} ) ) / p(B)

= ( p(B {_i} ) / p(B) )

= p_B( {_i} )
 

p_B(A) est appelée probabilité de A sachant B.

Notation :

p_B(A) = p(A | B)
 

2) Formule des probabilités composées :

Prop :

Soit (A₁, ... ,A_m) ( P() )^m , m2 tel que p(A₁...A_m ) > 0 :

(Pm) :

p(A1...Am ) = p(A1)p(A2 | A1 )...p(Am | A1...Am-1 )

Démo : Par récurrence sur m.
 

3) Formule des probabilités totales :

Déf :

Soit (A₁,...,A_m)  ( P() )^m

(A_i) _1im est un système complet d'événements si :

1. i [| 1,m |] , p(A_i ) > 0
2. ( i,j )  [| 1,m |]² avec ij , A_i A_j = 
3. A_i = 

Exple :

Soit A P() tel que p(A) > 0
alors ,

{ A,^cA } est un système complet d'événements .
 

Prop :

Soit A P() :

Soit (B₁,...,B_m) un système complet d'événements ; alors :
 
 

p(A) = p(ABi ) = p(A | Bi )p(Bi)

Rque : faire un arbre (penser aux programmes de lycée )

4) Formule de Bayes :

Prop :

Soit A P() tel que p(A) > 0.
Soit (B₁,...,B_n) un système complet d'événements :
 

k [| 1,n |] ,  p(Bk|A) = p(A|Bk )p(Bk) / p(A|Bi)p(Bi)

Démo : triviale grâce à la formule des probas totales .
 

II) Indépendance :

Déf :

Soient A et B P()

A et B sont indépendants ssi p(AB) = p(A)p(B)

Notation : AB

Propriétés :

• Soient A et B de P() :

AB ^cAB  A^cB ^cA^cB

• BP(), AB p(A) = 0 ou p(A) = 1

Soient A et B de P() tq p(A) > 0 et p(B) > 0
Alors :

Les conditions suivantes sont équivalentes :

(i) AB
(ii) p(A|B) = p(A)
(iii) p(B|A) = p(B)

Démo : preuves simples (revenir à la def de proba conditionnelle )

Déf :

Soit (A₁,...,A_m) (P())^m :

A₁,...,A_m constituent une famille d'événements mutuellement indépendants si :

k[| 1,m |] , (i₁,...,i_k)  [| 1,m |]^k

avec i₁,...,i_k deux à deux distincts :

p(Aij) = p(Aij)

Rque 1 :

L'indépendance mutuelle d'événements implique l'indépendance deux à deux des événements,mais la réciproque est fausse .

Exple :

Soit un jeu de pile ou face.
On jette deux fois une pièce.

A : "On obtient pile au 1er jet "
B : "On obtient face au 2eme jet "
C : "On obtient deux résultats identiques "

= { (p;p) , (p;f) , (f;p) , (f,f) }

p(A) = 1/2 = p(B) = p(C)
p(AB) = 1/4 = p(AC) = p(BC)

p(AB) = p(A)p(B)
p(AC) = p(A)p(C)
p(BC) = p(B)p(C)

Donc les événements sont deux à deux indépendants.

Or,
  p(ABC) = 0

D'où : p(ABC)  p(A)p(B)p(C) =1/8

C'est-à-dire : A,B et C ne sont pas mutuellement indépendants

Rque 2 :

Deux événements peuvent être indépendants pour une probabilité p,mais peuvent ne pas l'être pour une probabilité conditionnelle relative à p.

Exple :

Si on reprend le jeu de pile ou face précédent :

p(C) 0 donc p_C est bien définie.

p_C(A) = p(AC) / p(C) = 1/2 = p_C(B)

p_C(AB) = (1/p(C)) p(ABC) = 0

D'où p_C(AB)  p_C(A)p_C(B)

Donc  : A et B ne sont pas indépendants pour p_C pourtant ils le sont  pour p.
 

III) Applications :

1) Une contractuelle qui met un pv un jour donné, en met un le lendemain avec une proba de 0,4 .
Si elle ne met pas de pv ce jour-là, elle en met un le lendemain avec une proba de 0,7 .

Elle met un pv le lundi. Quelle est la proba qu'elle en mette un le jeudi ?

2) Calcul de l'indicatrice d'Euler :

= {1,...,n } . Soit k[| 1,n |] , k un entier choisi arbitrairement

Soit p tel que p|n et Ep : " p|k "

I) a) Calculer la proba de Ep
    b) Soient p₁ et p₂ des diviseurs premiers de n ;
montrons que Ep₁  Ep₂

II) Soit A = { kn / pgcd(k,n) = 1 }

Calculer (n) = Card A
 
 

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