Bref résumé du document PDF : (sans formule mathématique)

Les fractales sont nées officiellement en 1975 avec la parution du livre Les objets fractals de Benoît Mandelbrot.

Cependant, cela fait bien longtemps que ces curieux objets mathématiques sont dans l'air du temps.

A la fin du XIXième siècle, certains mathématiciens ont réussi à construire des exemples de courbes n'admettant des tangentes en aucun point bien que les fonctions qu'elles représentent soient continues.

Au début du XXième siècle, d'autres cas "pathologiques" de courbes construites par des procédés mathématiques vont voir le jour : poussière de Cantor, triangle et éponge de Sierpinski, flocon de von Koch, courbe de Peano...

Certains mathématiciens y compris de très grands (exples : Henri Poincaré, Ch.Hermite) vont rejeter ces exemples les considérant comme de véritables aberrations.

D'autres y voient là le "véritable" langage de la Nature.

Dans la préface de son livre Les atomes (1913), Jean Perrin (1870-1942) - prix Nobel de physique, fondateur du CNRS et du palais de la découverte - nous dit ceci : "...les courbes qui n'ont pas de tangente sont la règle, et les courbes bien régulières telles que le cercle, sont des cas forts intéressants mais très particuliers...

Observons, par exemple, un de ces flocons blancs qu'on obtient en salant de l'eau de savon. De loin, son contour peut sembler net, mais sitôt qu'on s'approche un peu, cette netteté s'évanouit. Chaque fois qu'on prend une loupe ou un microscope, on augment le grossissement et on voit apparaître des anfractuosités nouvelles, sans jamais éprouver l'impression nette et reposante que donne, par exemple, une bille d'acier poli... Mon oeil cherche en vain une petite région "pratiquement homogène" sur ma main, sur la table où j'écris, sur les arbres ou sur le sol que j'aperçois de ma fenêtre. Et si, sans me montrer trop difficile, je délimite une région à peu près homogène, sur un tronc d'arbre par exemple, il suffira de m'approcher pour distinguer sur l'écorce rugueuse les détails que je soupçonnais seulement, et pour, de nouveau, en soupçonner d'autres.

Puis, quand mon oeil tout seul deviendra impuissant, la loupe, le microscope, montrant chacune des parties successivement choisies à une échelle sans cesse plus grande, y révéleront de nouveaux détails, et encore de nouveaux, et quand enfin j'aurai atteint la limite actuelle de notre pouvoir, l'image que je fixerai sera bien plus différenciée que ne l'était celle d'abord perçue."

Ce texte est vraiment précurseur sur ce qui va devenir bien plus tard la géométrie fractale.

L'outils indispensable qui va jouer un rôle décisif dans cette histoire est bien sûr l'informatique.

Certains mathématiciens (Julia, Fatou) s'étaient penchés sur les itérations de polynômes complexes au début du XXième siècle. Mais, sans ordinateur, il était impossible d'obtenir les représentations graphiques que nous connaissons maintenant et qui font la beauté si envoûtante des fractales.

Curieusement, Mandelbrot, bien que mathématicien, ne donnera pas, tout de suite une définition précise des fractales . Il ne souhaitait pas donner une définition qui aurait été réductrice de cet objet apparemment universel.C'est lui qui forge le nom : "fractales" du latin fractus : fragmenté.

On peut retenir la définition d'Adrien Douady :

Définition :Un fractal est un objet irrégulier, dont l'irrégularité est la même à toutes les échelles et en tous les points.

La propriété importante qui les caractérise est l'auto-similarité : c'est-à-dire le fait que des structures identiques se répètent à différentes échelles.

Autre définition (Mandelbrot) : Une fractale est une figure géométrique ou un objet naturel qui combine les caractéristiques suivantes :

a) Ses parties ont la même structure que le tout, à ceci près qu'elles le sont à une échelle différente et peuvent être légèrement déformées.

b) Sa forme est extrêmement irrégulière ou fragmentée et le reste à toutes les échelles

c) Elle contient des éléments discernables dans une large gamme d'échelle.

Mandelbrot a multiplié les exemples dans la nature rendant ainsi le concept de fractale opérationnel.

Texte de Mandelbrot : "Mais non, la Nature n'est pas analytique, lisse, dérivable, elle est fractale. Ces objets que Cantor, Peano, Von Koch, Sierpinski ont inventés en croyant s'émanciper de la Nature, décrivent en fait mieux la Nature que les fonctions analytiques des physiciens du XIX ième siècle."

Quelques exemple de fractales naturelles :

Choux-fleurs, choux Romanesco, pierres ponces, orchidées, ailes de certains papillons,etc...

En 1982, l'ensemble connu désormais sous le nom d' "ensemble de Mandelbrot" est né.

Il est obtenu de manière simple mais possède une richesse de structures infinie.(voir la galerie avec "balade" sur l'ensemble de Mandelbrot). Il suffit de zoomer sur certaines parties et l'on voit alors apparaître des structures très complexes insoupçonnées, lorsqu'on regarde l'ensemble de départ.

Toutes les courbes fractales que vous verrez dans cette galerie sont engendrées par itération de la variable complexe. Chaque courbe est obtenue pour un nombre d'itérations (souvent plusieurs centaines) et une échelle donnée. Dès que l'on change l'un de ces deux paramètres, de nouvelles structures apparaissent et donc la courbe se modifie.

Les fractales sont à l'heure actuelle un outils extrêmement performant dans bien des disciplines scientifiques : mathématiques, physique, chimie, astronomie (la structure de l'Univers à grande échelle est fractale !), mais aussi en économie, dans la vie quotidienne (un mur fractal anti-bruit aux performances inégalées a été construit...),etc...

En zoomant sur des parties de l'ensemble de Mandelbrot, on obtient ces détails :

C'est hallucinant !!