Exercice 1 :

Résoudre l'équation différentielle suivante :

y'' + y' - 2y = 3e^x + 2cos x
 

Exercice 2 : (les deux questions sont indépendantes)

1) Calculer la limite, quand x tend vers 0 ,de l'expression suivante :

( ln(1+x) + x² /2 - sh(x) ) / x(1-cos x )

2) Calculer la limite, quand x tend vers  ,de l'expression suivante :

x³[ln(1+sin(1/x)) - 1 + 1/x² + ( (x-2)/x )^0.5 ]
 
 

Exercice 3 : (les deux questions sont indépendantes)
 

1) Calculer les primitives , sur  , de la fonction f définie sur  par :

f(x) = x.Arctan x

2) Calculer les primitives, sur  , de la fonction g définie sur  par :

g(x) = (e^x - 1 ) / ( ( e^x + 1 )( e^2x + e^x + 1 ) )
 
 

Exercice 4 :

Le plan étant rapporté à un repère orthonormé, on considère la courbe plane, notée C , d'équations paramétriques :

x(t) = (t² + t + 1)/(t+1)
y(t) = t²/(t-1)

1) donner le domaine de définition de x et de y, ainsi que le tableau des variations de x et de y.

2) Préciser les asymptotes à C, parallèles à l'un des axes de coordonnées.

3) Préciser les points de C où la tangente à C est parallèle à l'un des axes de coordonnées.

4) Montrer que C admet une asymptote oblique :

a) Donner une équation de cette asymptote oblique
b) Préciser la position de C ,relativement à cette asymptote
 

b) Déterminer une équation de la tangente à C en ce point

c) Préciser la position de C relativement à cette tangente, au voisinage de ce point.